Lagrange

I PUNTI DI LAGRANGE

Supponiamo di avere a che fare con il Sole ed un pianeta. Poniamo che in questo sistema si presenti anche un terzo corpo di massa m molto inferiore rispetto a quella degli altri due, le cui masse, per rendere più evidente il rapporto col terzo corpo, saranno indicate rispettivamente con M₁ e M₂.

La condizione che $m \ll M_{1} \; \& \; M_{2}$ e $m \ll M_{1} \; \& \; M_{2}$ è essenziale perché la propria presenza non alteri sensibilmente il centro di massa del sistema. In altre parole noi supponiamo che i due corpi di massa maggiore interagiscano col corpo minore, ma che quest'ultimo non agisca sui due astri, o che i suoi effetti siano del tutto trascurabili. Sistema di riferimento

Questo tipo di trattazione, che prende il nome di problema ridotto dei tre corpi, fu studiato da Lagrange nel 1772. Per affrontarlo prendiamo un sistema di riferimento non inerziale centrato nel centro di massa, con un asse solidale con i pianeti. I due astri avranno la stessa velocità angolare per cui è possibile mantenerli contemporaneamente sullo stesso asse, poniamo che sia l'asse X. Siano R₁ e R₂ le distanze del punto generico da M₁ e M₂.

Andiamo a scrivere l'energia potenziale del corpo di massa m data dalla somma di 3 contributi: i 2 potenziali gravitazionali ed il potenziale centrifugo, perché siamo in un sistema di riferimento rotante.

$\begin{displaymath}U=-\frac{GM_1m}{R_1}-\frac{GM_2m}{R_2}-\frac{1}{2}m \omega^2 (x^2+y^2) \eqno(13.1)\end{displaymath}$

essendo $\omega=2 \pi/T$ ed esprimendo T tramite la terza legge di Keplero si ha

$\begin{displaymath}\omega^2=\frac{G(M_1 +M_2)}{a^3} \eqno(13.2)\end{displaymath}$

dove a=x₂-x₁ per cui

$\begin{displaymath}U=-Gm \bigg\{ \frac{M_1}{{[(x-x_1)^2+y^2+z^2]}^{1/2}} + \fra... ...c{1}{2} \frac{(M_1 + M_2)(x^2 + y^2)}{(x_2 -x_1)^{3}} \bigg\} =\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=-GmU^{\prime} \eqno(13.3)\end{displaymath}$

Deriviamo rispetto alle tre coordinate cartesiane per trovare le rispettive posizioni di equilibrio:

$\begin{displaymath}\frac{\partial U^{\prime}}{\partial x} = - \frac{M_1 (1/2)[(x-x_1)^2 +y^2+ z^2]^{1/2}2(x-x_1)}{[(x-x_1)^2+y^2+z^2]}-\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}- \frac{M_2 (1/2)[(x-x_2)^2 +y^2+ z^2]^{1/2}2(x-x_2)}{[(x-x_2)^2+y^2+z^2]}+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+ \frac{1}{2} \frac{(M_1+M_2)2x}{(x_2-x_1)^3}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=-\frac{M_1(x-x_1)}{R_1^3} -\frac{M_2(x-x_2)}{R_2^3} +\frac{(M_1+M_2)x}{a^3} \eqno(13.4)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{\partial U^{\prime}}{\partial y} =- \frac{M_1 (1/2)[(x-x_1)^2 +y^2+ z^2]^{-1/2}2y}{[(x-x_1)^2+y^2+z^2]}-\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}- \frac{M_2 (1/2)[(x-x_2)^2 +y^2+ z^2]^{-1/2}2y}{[(x-x_2)^2+y^2+z^2]}+\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}+ \frac{1}{2} \frac{(M_1+M_2)2y}{(x_2-x_1)^3}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=-\frac{M_1y}{R_1^3} -\frac{M_2y}{R_2^3} +\frac{(M_1+M_2)y}{a^3} \eqno(13.5)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{\partial U^{\prime}}{\partial z} =- \frac{M_1 (1/2)[(x-x_1)^2 +y^2+ z^2]^{-1/2}2z}{[(x-x_1)^2+y^2+z^2]}-\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}-\frac{M_2 (1/2)[(x-x_2)^2 +y^2+ z^2]^{-1/2}2z}{[(x-x_2)^2+y^2+z^2]}=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=- \left( \frac{M_1}{R_1^3} + \frac{M_2}{R_2^3} \right)z \eqno(13.6)\end{displaymath}$

Si faccia attenzione che in un'eventuale derivata seconda U e $U^{\prime}$ avrebbero segno opposto. Andando ora a prendere singolarmente ogni equazione, e uguagliando a zero per trovare i punti di equilibrio si ha:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial U^{\pri... ...2}{R_2^3} \right)z = 0\\ \end{array}\renewcommand {1}{1} \right. \end{displaymath}$

Dalla terza si ottiene, per l'asse Z, la soluzione z=0, dal momento che la parentesi non si annulla mai ( M₁/R₁³ +M₂/R₂³ > 0 sempre).
La seconda, riscritta mettendo in evidenza la y, diventa:

$\begin{displaymath}\left( \frac{M_1}{R_1^3} +\frac{M_2}{R_2^3}-\frac{M_1+M_2}{a^3} \right)y=0 \eqno(13.7)\end{displaymath}$

che dà vita a due soluzioni, una per y=0, l'altra va trovata per tentativi. E' chiaro comunque che R₁=R₂=a è soluzione. posizione dei Troiani

Questa, messa a sistema con quella per z, ci dice che si hanno due soluzioni in punti disposti a triangolo equilatero con i due corpi principali, sul piano orbitale, chiamati L₄ e L₅ (vedi figura a lato). Consideriamo ora la derivata lungo l'asse X; e verifichiamo che le soluzioni ora trovate soddisfino l'equazione $\partial U^{\prime}/ \partial x$ . La qual cosa è molto semplice da provare, infatti l'espressione della (4) per R₁ =R₂=a si riduce a

per definizione, avendo posto l'origine nel centro di massa.

Occupiamoci ora delle soluzioni sull'asse x, cioè per y=z=0, in allineamento con i due corpi principali. E' ovvio intanto che ci sia un punto esterno ai due corpi, uno a destra ed uno a sinistra di entrambi. Infatti per punti esterni le forze gravitazionali tendono a riportare la massa verso il centro, mentre la forza centrifuga tende a portarla verso l'esterno. Poiché entrambe le forze diminuiscono con R₁ e R₂ ed essendo la forza centrifuga monotòna crescente verso la periferia, certamente esisterà una configurazione di equilibrio. Curve di Hill

Esiste anche un terzo punto (ed uno soltanto) interno. Risolvendo l'equazione (4) si trovano le ascisse dei tre punti Lagrangiani sull'asse X i cui valori sono stati tabulati da Plavec e Kratochvil (1964) in funzione del rapporto di massa fra i due corpi.

Stabilità dei punti Lagrangiani

Abbiamo trovato cinque punti di equilibrio, le cui coordinate sono le soluzioni esatte del problema dei tre corpi ristretto, ovvero sono soluzioni statiche e stazionarie nel sistema di riferimento ruotante.

E’ ora lecito chiedersi di che natura di equilibrio si tratti, stabile (il corpo, se perturbato dalla sua posizione, comunque nel tempo tende a ritornare nel suo punto Lagrangiano) o instabile (il corpo, a seguito della perturbazione, si allontana indefinitamente dalla sua posizione).

Consideriamo dunque una soluzione di equilibrio () e introduciamo una piccola perturbazione nella posizione cui corrisponda una perturbazione in velocità anch’essa piccola :

Le equazioni del moto dunque diventano :

Poiché abbiamo imposto che le perturbazioni siano di piccola entità, possiamo sviluppare i secondi membri delle equazioni in serie di Taylor :

Le derivate si intendono sempre calcolate in (), il primo termine nelle equazioni è nullo in quanto rappresenta le soluzioni di equilibrio e, sia per la f che per la g, vale la seguente :

Pertanto sostituendo si ottiene :

Questo, grazie alla particolare forma del potenziale, è un sistema di equazioni differenziali del 2° ordine a coefficienti costanti, la cui soluzione pertanto sarà del tipo :

La natura di queste funzioni è strettamente legata ai coefficienti λi :

Qualora questi siano immaginari puri avremo delle funzioni periodiche, caratteristiche di un equilibrio stabile (moto periodico attorno alla posizione di equilibrio).
Qualora anche uno solo dei coefficienti abbia parte reale non nulla avremo delle funzioni non periodiche, e quindi un equilibrio instabile.

Analizzando i coefficienti per i 5 punti Lagrangiani si ottiene che i punti L1, L2, L3 sono sempre posizioni di equilibrio instabile, mentre per quel che riguarda i punti L4, L5 occorre valutare il rapporto di massa dei due corpi principali :

Se allora avremo un equilibrio instabile, come L1, L2, L3.

Nel sistema Sole-Giove μ<0,001 pertanto L4 ed L5 sono punti di equilibrio stabile.

BIBLIOGRAFIA
Plavec M. e Kratochvil P.: 1964, Bull. Astron. Inst. Czech. 15, 165.